Question

已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)的最小正周期為π，且在x=

π

8

處取得最大值．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA+sinC=

3

2

f(

B

2

-

π

8

)，且ac=

2

3

b2，求角B．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知函數的周期，利用三角函數的周期公式求出ω的值，再由函數在x=

π

8

處取得最大值，得到點（

π

8

，2）在函數圖象上，將此點代入函數解析式中確定出φ的值，即可確定出函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用第一問確定出的函數解析式化簡已知的等式sinA+sinC=

3

2

f（

B

2

-

π

8

），再利用正弦定理變形，表示出a+c，利用余弦定理表示出cosB，將表示出的a+c及ac代入，化簡后得出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的最小正周期為π，
∴

2π

ω

=π，即ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
又點（

π

8

，2）在函數圖象上，得sin（

π

4

+φ）=1，
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

，
則f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

4

）；
（Ⅱ）由sinA+sinC=

3

2

f（

B

2

-

π

8

），得sinA+sinC=

3

sinB，
由正弦定理得：a+c=

3

b，又ac=

2

3

b²，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

(a+c)2-2ac-b2

2ac

=

3b2- 4 3 b2-b2

4 3 b2

=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角函數y=Asin（ωx+φ）解析式的確定，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．