Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求證：

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直；
（2）若k

a

+

b

與k

a

-

b

大小相等，求β-α（k≠0）．

Answer 1

分析：（1）由模長公式可得|

a

|=|

b

|=1，而（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=|

a

|2-|

b

|2=0，可判垂直；
（2）由k

a

+

b

與k

a

-

b

大小相等，可得（k

a

+

b

）²=（k

a

-

b

）²，化簡可得

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（β-α）=0，結合角的范圍可得其值．

解答：解：（1）∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，同理|

b

|=1，
∴（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=|

a

|2-|

b

|2=1-1=0
∴

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直；
（2）∵k

a

+

b

與k

a

-

b

大小相等，
∴（k

a

+

b

）²=（k

a

-

b

）²，
展開化簡可得4k

a

•

b

=0，
∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（β-α）=0，
又∵0＜α＜β＜π，∴β-α=

π

2

點評：本題考查數量積判斷兩向量的垂直關系，涉及向量的模長相等，屬基礎題．