Question

（Ⅰ）已知函數f(x)=x²+lnx-ax在(0,1)上是增函數，求a的取值范圍.

（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，設g(x)=e²x+|e^x-a|,x∈［0,ln3］.求函數g(x)的最小值.

Answer 1

解：f′(x)=,∵f(x)在(0,1)上增，

∴f′(x)≥0在（0，1）上恒成立，

∴2x²-ax+1≥0,∴a≤=+2x.

∵+2x≥2,∴a≤2.

(Ⅱ)∵x∈［0,ln3］,

∴e^x∈［1,3］.

    當a≤1時，g(x)=e²x+e^x-a.此時，g(x)在x∈［0,ln3］上增，∴g(x)_min=2-a;

    當1＜a≤22時，g(x)=

    當x∈［0,lna］時，g′(x)=2e²x-e^x＞0.

    此時g(x)最小值g(0)=a;

    當x∈［lna,ln3］時，g(x)單調遞增，

g(x)最小值為g(lna)=(e^lna)²=a²;

∵a＜a²,

    故g(x)_min=a.

    綜上：a≤1時，g(x)_min=2-a;

1＜a≤2時，g(x)_min=a.