Question

設為關于n的k次多項式．數列{an}的首項，前n項和為．對于任意的正整數n，都成立．
（1）若，求證：數列{an}是等比數列；
（2）試確定所有的自然數k，使得數列{an}能成等差數列

Answer 1

（1）若，則即為常數，不妨設（c為常數）．
因為恒成立，所以，即．
而且當時，，  ①
， ②
①－②得 ．
若an=0，則，…，a1=0，與已知矛盾，所以．
故數列{an}是首項為1，公比為的等比數列．
【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符題意，舍去．
(ii) 若k=1，設（b，c為常數），
當時，，          ③
，    ④
③－④得 ．
要使數列{an}是公差為d（d為常數）的等差數列，必須有（常數），
而a1=1，故{an}只能是常數數列，通項公式為an =1，
故當k=1時，數列{an}能成等差數列，其通項公式為an =1，此時．
(iii) 若k=2，設（，a，b，c是常數），
當時，，          ⑤
， ⑥
⑤－⑥得 ，要使數列{an}是公差為d（d為常數）的等差數列，必須有
，且d=2a，
考慮到a1=1，所以．
故當k=2時，數列{an}能成等差數列，其通項公式為，
此時（a為非零常數）． (iv) 當時，若數列{an}能成等差數列，則的表達式中n的最高次數為2，故數列{an}
不能成等差數列．
綜上得，當且僅當k=1或2時，數列{an}能成等差數列．

略