Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AC＝AD＝3，PA＝BC＝4.

（1）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

（2）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）先根據題意建立空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.

（2）先求得平面PBC的一個法向量，易知平面PAD的一個法向量，再利用面面角的向量方法求解.

（1） 設BC的中點為E，由AB＝AC，可知AE⊥BC，

故分別以AE，AD，AP所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系

則A(0，0，0)，P(0，0，4)，D(0，3，0)，B(，－2，0)，C(，2，0)．

設θ為兩直線所成的角，

由＝(，－2，－4)，＝(－，1，0)，

得cosθ＝＝.

（2） 設＝(x,y,z)為平面PBC的法向量，

＝(，－2，－4)，＝(，2，－4)，

·＝0，·＝0，

即

取平面PBC的一個法向量＝(4，0，)，

平面PAD的一個法向量為＝(1，0，0)．

設α為兩個平面所成的銳二面角的平面角，則cosα＝＝.

所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為.