Question

如圖,直線AB為圓的切線,切點為B,點C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點E,DB垂直BE交圓于點D.

(1)證明:DB=DC;
(2)設圓的半徑為1,BC=,延長CE交AB于點F,求△BCF外接圓的半徑.

Answer 1

(1)見解析   (2)

解析(1)證明:連接DE,交BC于點G.

由弦切角定理得,
∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,
故∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又DB⊥BE,
所以DE為直徑,
則∠DCE=90°,
由勾股定理可得DB=DC.
(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂線,
所以BG=.
設DE的中點為O,連接BO,
則∠BOG=60°.
從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,
故Rt△BCF外接圓的半徑等于.