Question

22.對任意函數f(x)，xD，可按圖示構造一個數列發生器，其工作原理如下：

①輸入數據x₀D，經數列發生器輸出x₁=f(x₀);

②若x₁D，則數列發生器結束工作；若x₁D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f(x₁)，并依此規律繼續下去.現定義f(x)=.

(1)若輸入x₀=，則由數列發生器產生數列{x_n}，請寫出數列{x_n}的所有項；

(2)若要數列發生器產生一個無窮的常數數列，試求輸入的初始數據x₀的值；

(3)是否存在x₀，在輸入數據x₀時，該數列發生器產生一個各項均為負數的無窮數列？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

22.

［解］(1)∵f(x)的定義域D=(－，－1)∪(－1，+)，

∴數列{x_n}只有三項：x₁=，x₂=，x₃=－1.                      

 

(2)∵f(x)=，即x²－3x+2=0，

∴x=1，或x=2.

 

即當x₀=1或2時，x_n+1=.

 

故當x₀=1時，x_n=1；當x₀=2時，x_n=2 (nN).          

 

(3)［證法一］設x_n<0 (nN).

 

由x₁=，得－1<x₀<，