Question

【題目】已知數列滿足條件：，且是公比為的等比數列，設.

（1）求出使不等式成立的的取值范圍；

（2）求和，其中；

（3）設，求數列的最大項和最小項的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）數列有最大值；數列有最小值.

【解析】

(1)利用數列滿足條件:，，且是公比為的等比數列，可得公比的不等式，故可求q的取值范圍；
(2)先考慮相鄰項的關系,可知比值為常數，故可知數列是等比數列，由于公比不定，故要進行分類討論；
(3)先求數列的通項，再利用單調性,研究其最值.

(1)由題意得，

則不等式即為，
由題設，，故從上式可得 ,
，故；
(2) 由（1）得，所以，，

所以，

，所以是首項為，公比為q的等比數列，

所以，
當時，，；
當時，；
當時，；
，
(3)從上式可知,設，
當時,遞減，

，

當時，遞減,，，
所以當時，數列有最大值；當時，數列有最小值.