Question

已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），當x＞1時，f（x）＞0且f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1），并求證：f（

1

x

）=-f（x）
（2）證明f（x）在定義域上是增函數．
（3）如果f（

1

3

）=-1求滿足不等式f（

1

x-2

）≥2的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值即令x=y=1的方法易得f（1），令y=

1

x

，結合f（1）的值，可證得f（

1

x

）=-f（x）
（2）抽象函數的單調性的證明，需要特別的構造方法，本題中的特點是含有f（xy），因此在設出0＜x₁＜x₂之后想到構造出：

x2

x1

＞1，可應用已知得到f（

x2

x1

）＞0，進而根據函數單調性的定義得到結論
（3）根據f（

1

3

）=-1，結合（1）（2）中的結論，可將f（

1

x-2

）≥2具體化，進而根據函數的定義，解不等式可得答案．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1）
解得f（1）=0
令y=

1

x

，則f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=f（1）=0
故f（

1

x

）=-f（x）
（2）設0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，則f（

x2

x1

）＞0，
則令x=x₁，y=

x2

x1

，
則f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＞f（x₁）
故f（x）在定義域上是增函數
（3）∵f（

1

3

）=-1，
∴f（3）=1，f（9）=f（3）+f（3）=2
又∵f（x）在定義域上是增函數，
故不等式f（

1

x-2

）≥2可化為f（

1

x-2

）≥f（9）
即

1

x-2

≥9
解得2＜x≤

19

9

即滿足條件的x的取值范圍為（2，

19

9

]

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性的判斷與證明，抽象不等式的解法，熟練掌握抽象函數的解答技巧--“湊”是解答的關鍵．