Question

【題目】某同學用“五點法”畫函數f（x）=Asin（ωx+φ） 在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如表：

ωx+φ	0		π		2π
x
f（x）=Asin（ωx+φ）	0	5		﹣5	0

（1）請將如表數據補充完整，并直接寫出函數f（x）的解析式；
（2）將函數y=f（x）的圖象向左平移 個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，求y=g（x）的圖象離原點O最近的對稱中心．
（3）求當 時，函數y=g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據所給的表格可得A=5， = = ﹣ ，∴ω=2，結合五點法作圖可得2 +φ= ，∴φ=﹣ ，

∴f（x）=5sin（2x﹣ ）．

根據五點法作圖可得表格具體為：

ωx+φ	0		π		2π
x
f（x）	0	5	0	﹣5	0

（2）解：將函數y=f（x）=5sin（2x﹣ ）的圖象向左平移 個單位長度，

得到函數y=g（x）=5sin[2（x+ ）﹣ ]=5sin（2x+ ）的圖象，

令2x+ =kπ，求得x= ﹣ ，k∈Z，

故y=g（x）的圖象離原點O最近的對稱中心為（﹣ ，0）

（3）解：求當 時，2x+ ∈[﹣ ， ]，故當2x+ =﹣ 時，g（x）取得最小值為﹣ ，

當2x+ = 時，g（x）取得最大值為5，故函數y=g（x）的值域為[﹣ ，5]．

【解析】（1）根據用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖的方法，求得A、ω、φ的值，可得函數的解析式，并得到完整的表格．（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性，求得y=g（x）的圖象離原點O最近的對稱中心．（3）利用正弦函數的定義域和值域，求得當 時，函數y=g（x）的值域．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．