Question

已知{a_n}是等差數列,a₁=2,a₂=3,若在每相鄰兩項之間插入3個數,使它和原數列的數構成一個新的等差數列,
(1)原數列的第12項是新數列的第幾項?
(2)新數列的第29項是原數列的第幾項?

Answer 1

(1)原數列的第12項是新數列的第45項.
(2)新數列的第29項是原數列的第8項.

數列的通項公式是研究數列問題的重要工具.能否由條件找到兩個數列的通項公式是解決此題的關鍵.
∵數列{a_n}中a₁=2,d=a₂-a₁=3-2=1,
∴a_n=a₁+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1.
設新數列為{b_n},公差為d′,據題意知b₁=2,b₅=3,
則d′===,
∴b_n=2+(n-1)×=+.
(1)a₁₂=12+1=13,令+=13,得n=45,故原數列的第12項是新數列的第45項.
(2)b₂₉=+=9,令n+1=9,得n=8,故新數列的第29項是原數列的第8項.