Question

已知雙曲線，點在曲線上，曲線的離心率為，點、為曲線上易于點A的任意兩點,為坐標原點。
（1）求曲線上方程；
（2）若為曲線的焦點，求最大值；
（3）若以為直徑的圓過點，求證：直線過定點，并求出定點坐標。

Answer 1

（1）方程為
（2）由雙曲線的對稱性知，不妨設P在左支上，設，由焦半徑得：
，所以
所以，當時取等號。
的最大值是。
（3）設，聯立直線PQ和雙曲線方程得：
，所以得。
且，由題知，
所以，
，
代入的，
解得或（舍去），所以PQ方程為，
即得PQ過定點
（說明：另解一，可以利用對稱和當PQ垂直情況猜過軸上點，然后證明；
另解二，設AP斜率，求出P，Q坐標，然后利用兩點式寫出方程判斷過定點，）

略