Question

設平面向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(

3

2

，

1

2

)，函數f(x)=

a

•

b

+1．
①求函數f（x）的值域；
②求函數f（x）的單調增區間．
③當f(α)=

9

5

，且

π

6

＜α＜

2π

3

時，求sin(2α+

2π

3

)的值．

Answer 1

依題意f（x）=（cosx，sinx）•(

3

2

，

1

2

)+1=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1（2分）
=sin(x+

π

3

)+1（5分）
①函數f（x）的值域是[0，2]；（6分）
②令-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解得：-

5π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，
所以函數f（x）的單調增區間為[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ](k∈Z)；（8分）
③由f(α)=sin(α+

π

3

)+1=

9

5

，得sin(α+

π

3

)=

4

5

，
因為

π

6

＜α＜

2π

3

，所以

π

2

＜α+

π

3

＜π，
得cos(α+

π

3

)=-

3

5

，（11分）
則sin(2α+

2π

3

)=sin2(α+

π

3

)
=2sin(α+

π

3

)cos(α+

π

3

)=-2×

4

5

×

3

5

=-

24

25

（13分）．