Question

(本小題滿分16分)

   探究函數,x∈(0,+∞)的最小值，并確定相應的x的值，列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.102	4.24	4.3	5	5.8	7.57	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成下列問題：

(1)若函數,(x>0)在區間(0,2)上遞減，則在        上遞增；

(2)當x=        時，,(x>0)的最小值為         ；

(3)試用定義證明,(x>0)在區間(0,2)上遞減；

(4)函數,(a>0, 且a≠1）有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（只寫結果，不要求寫過程）.

Answer 1

(本小題滿分16分)

(1)若函數,(x>0)在區間(0,2)上遞減，則在        上遞增；

(2)當x=        時，,(x>0)的最小值為         ；

解：(1) (2,+∞) (左端點可以閉)                                      ……2分

(2)x=2時，y­_min=4                                              ……4分 

    (3) 設0<x₁<x₂<2，則

f(x₁)- f(x₂)=

        =   (#)

∵0<x₁<x₂<2 ∴x₁-x₂<0,0<x₁x₂<4 ∴∴ 

∴(#)式>0即f(x₁)- f(x₂)>0 ∴f(x₁)> f(x₂)

∴f(x)在區間(0,2)上遞減。                               ……10分

   (4) 有最小值4

時，有最小值，此時x= 2。       ……13分

時，有最大值，此時x= 2。     ……16分