Question

【題目】曲線y=1+ 與直線kx﹣y﹣2k+5=0有兩個交點(diǎn)時，實數(shù)k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：化簡曲線y=1+ ，得x2+（y﹣1）2=4（y≥1） ∴曲線表示以C（0，1）為圓心，半徑r=2的圓的上半圓．
∵直線kx﹣y﹣2k+5=0可化為y﹣5=k（x﹣2），
∴直線經(jīng)過定點(diǎn)A（2，5）且斜率為k．
又∵半圓y=1+ 與直線kx﹣y﹣2k+5=0有兩個相異的交點(diǎn)，
∴設(shè)直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點(diǎn)為B（﹣2，1），
當(dāng)直線的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率時，
直線與半圓有兩個相異的交點(diǎn)．
由點(diǎn)到直線的距離公式，當(dāng)直線與半圓相切時滿足 =2，
解之得k= ，即kAD= ．
又∵直線AB的斜率kAB=1，∴直線的斜率k的范圍為k∈ ．
故答案為 ．

將曲線方程化簡，可得曲線表示以C（0，1）為圓心、半徑r=2的圓的上半圓．再將直線方程化為點(diǎn)斜式，可得直線經(jīng)過定點(diǎn)A（2，5）且斜率為k．作出示意圖，設(shè)直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點(diǎn)為B（﹣2，1），當(dāng)直線的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率時，直線與半圓有兩個相異的交點(diǎn)．由此利用直線的斜率公式與點(diǎn)到直線的距離公式加以計算，可得實數(shù)k的取值范圍．