Question

【題目】已知為橢圓的右焦點，點在上，且軸．

（1）求的方程；

（2）過的直線交于兩點，交直線于點．判定直線的斜率是否依次構成等差數列？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）將點的坐標代入橢圓方程，結合橢圓方程中a,b,c的關系，求出a2，b2的值，進而求得橢圓標準方程；

（2）聯立橢圓方程和直線方程，利用一元二次方程的根與系數的關系，結合斜率公式，證得，進而問題得證.

（1）因為點在上，且軸，所以,

由 ，得，

故橢圓的方程為．

（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線的的方程為，

令，得的坐標為．

由，得．

設，則有．①

設直線的斜率分別為，

從而．

因為直線的方程為，所以，

所以

． ②

把①代入②，得．

又，所以，故直線的斜率成等差數列．