Question

已知函數(shù)f（x）=

x- 3

3 x+1

，設(shè)f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*），若集合M={x∈R|f₂₀₀₉（x）=2x+

3

}，則集合M中的元素個(gè)數(shù)為（　　）

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、無窮多個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)f_n+1（x）=f[f_n（x）]分別求出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x）發(fā)現(xiàn)函數(shù)列{f_n（x）}是以3為周期的函數(shù)列，進(jìn)而可知f₂₀₀₉（x）=f₂（x），求得x，最后可判斷出集合M的元素．

解答：解：依題意得f₁（x）=

x- 3

3 x+1

，f₂（x）=

-x- 3

3 x-1

，f₃（x）=x，f₄（x）=f₁（x），，
即函數(shù)列{f_n（x）}是以3為周期的函數(shù)列，注意到2009=3×669+2，因此f₂₀₀₉（x）=f₂（x）=

-x- 3

3 x-1

．
由

-x- 3

3 x-1

=2x+

3

得2x（

3

x+1）=0，又

3

x+1≠0，因此x=0，集合M中的元素個(gè)數(shù)是1，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性．解本題關(guān)鍵是找出函數(shù)列的周期．