Question

設向量

a

=(mx+m-1，-1)，

b

=(x+1，y)，m∈R，且

a

⊥

b

（1）把y表示成x的函數y=f（x）；
（2）若tanA，tanB是方程f（x）+2=0的兩個實根，A，B是△ABC的兩個內角，求tanC的取值范圍．

Answer 1

（1）∵向量

a

=(mx+m-1，-1)，

b

=(x+1，y)，m∈R，且

a

⊥

b

∴[m（x+1）-1]（x+1）-y=0     2’
y=f（x）=mx²+（2m-1）x+m-1        4’
（2）由題意A，B是△ABC的兩個內角
∴tanC=-tan（A+B）
∵tanA，tanB是方程f（x）+2=0的兩個實根
∴△≥0?m≤

1

8

         8’
tanA+tanB=

1-2m

m

，tanAtanB=

m+1

m

∴tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=2m-1  
∴tanC=1-2m           9’
A，B是三角形的內角，至多一個為鈍角，tanA，tanB中至多有一個取負值，且都不為零
若都為正，由韋達定理tanA+tanB=

1-2m

m

＞0，得0＜m＜

1

2

，又m≤

1

8

，可得0＜m≤

1

8

，故有tanC=1-2m∈[

3

4

，1) 10’
若一正一負，由韋達定理tanAtanB=

m+1

m

＜0，可得-1＜m＜0，故有tanC∈（1，3）11’
綜上 tanC∈[

3

4

，1)∪(1，3)      12’