Question

已知m∈R，設命題p：在平面直角坐標系xOy中，方程

x2

m+2

+

y2

9-m

=1表示雙曲線；命題q：關于x的方程x²-3mx+2m²+1=0的兩個實根均大于1． 求使“p且q”為假命題，“p或q”為真命題的實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：先對兩個條件化簡，求出各自成立時參數所滿足的范圍，再根據“p或q”為真，p且q”為假判斷出兩命題的真假情況，然后求出實數m的取值范圍．

解答：解：命題p為真命題?（m+2）（9-m）＜0?m＜-2或m＞9，
設方程x²-3mx+2m²+1=0的兩個實根分別為x₁，x₂，則
命題q為真命題?

△=(3m)2-4(2m2+1)≥0 x1+x2＞2 (x1-1)(x2-1)＞0

?m≥2，
∵p且q為假命題，p或q為真命題∴p與q一真一假，
∴當p真q假時，解得m＜-2
當p假q真時，同理可得2≤m≤9
綜上所述，m的取值范圍是（-∞，-2）∪[2，9]．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，解題的關鍵是對兩個命題時行化簡，以及正確理解“p或q”為真，p且q”為假的意義．本題易因為對此關系判斷不準出錯，屬中檔題．