Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=lg

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R）有下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y 軸對稱；
②在區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)；
③在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
其中正確命題序號為

①③

．

Answer 1

分析：①判斷函數(shù)是偶函數(shù)即可．②利用復合函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．③利用復合函數(shù)的單調(diào)性進行證明．

解答：解：①f(-x)=lg?

(-x)2+1

|-x|

=lg?

x2+1

|x|

=f(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y 軸對稱，所以①正確．
②設(shè)t=

x2+1

|x|

，則t=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

，當x＜0時，t=-x-

1

x

，t′=-1+

1

x2

=

1-x2

x2

，由t'＜0，解得x＜-1，此時函數(shù)t單調(diào)遞減，
所以當x∈（-∞，0）時，數(shù)y=f（x）不是單調(diào)函數(shù)，所以②錯誤．
③由②知，當x＞1時，t=x+

1

x

，t′=1-

1

x2

=

x2-1

x2

＞0，所以此時函數(shù)t單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，所以③正確．
故答案為：①③

點評：本題主要考查與對數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的性質(zhì)以及復合函數(shù)的單調(diào)性的應用，綜合性較強．