Question

橢圓C₁，拋物線C₂的焦點均在x軸上，從兩條曲線上各取兩個點，將其坐標混合記錄于下表中：

x	3	3	4	6
y	- 3	3	-2	2

（1）求C₁，C₂的標準方程．
（2）如圖，過點M（2，0）的直線l與C₂相交于A，B兩點，A在x軸下方，B在x軸上方，且

AM

=

1

2

MB

，求直線l的方程；
（3）與（2）中直線l平行的直線l₁與橢圓交于C，D兩點，以CD為底邊作等腰△PCD，已知P點坐標為（-3，2），求△PCD的面積．

Answer 1

分析：（1）設拋物線方程為y²=mx，分別將四個點代入得到相同的m值兩個點即可，進而將另外兩個點的坐標代入橢圓方程即可得出；
（2）設直線l的方程為：x=my+2，與拋物線方程聯立消去x得：y²-my-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數的關系及向量相等

AM

=

1

2

MB

，即可得到m的值．．
（3）設直線l₁的方程為：y=x+t，與橢圓交于C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄）兩點，中點為Q（x₀，y₀），則PQ為l₁的垂直平分線，利用“點差法”即可得：x₀=-3y₀，又y₀=-x₀-1，聯立解得：x₀，y₀，代入l₁的方程可得t．可得l₁的方程，利用點斜式即可得出PQ的方程與橢圓方程聯立即可得到C、D坐標，利用兩點間的距離公式即可|CD|=3

2

，利用點到直線的距離公式可得：點P到直線CD（l₁）的距離h，利用S_△PCD=

1

2

|CD| ×h即可．

解答：解：（1）設拋物線方程為y²=mx，分別將四個點代入解得m=1，m=-

3

，m=1，m=

6

3

，
故拋物線方程為y²=x；
因此(

3

，

3

)(

6

，-

2

)兩個點為橢圓C₁上兩點，
設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，將上述兩個點坐標代入解得：a²=12，b²=4，
故橢圓方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）設直線l的方程為：x=my+2，與拋物線方程聯立：

x=my+2 y2=x

消去x得：y²-my-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y1+y2=m y1y2=-2

，
又

AM

=

1

2

MB

，
∴-y1=

1

2

y2，消去y₁，y₂，
解得：m=1，
所以直線l的方程為：x=y+2，即x-y-2=0．
（3）設直線l₁的方程為：y=x+t，與橢圓交于C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄）兩點，中點為Q（x₀，y₀），
則PQ為l₁的垂直平分線，
C、D在橢圓上可得：

x 2 3 +3 y 2 3 =12 x 2 4 +3 y 2 4 =12

化為（x₃+x₄）（x₃-x₄）+3（y₃+y₄）（y₃-y₄）=0，
把x0=

x3+x4

2

，y0=

y3+y4

2

，1=

y3-y4

x3-x4

．代入可得：x₀=-3y₀，又y₀=-x₀-1，
聯立解得：x₀=-

3

2

，y₀=

1

2

，代入l₁的方程，t=2．
∴l₁的方程為：y=x+2，
∴PQ的方程為y-

1

2

=-(x+

3

2

)，化為y=-x-1．
聯立

y=x+2 x2+3y2=12

，解得

x=0 y=2

，

x=-3 y=-1

，C、D坐標，
∴|CD|=

(-3-0)2+(-1-2)2

=3

2

，點P到直線CD（l₁）的距離h=

3

2

．
∴S_△PCD=

1

2

|CD| ×h=

1

2

×3

2

×

3

2

=

9

2

．

點評：熟練掌握橢圓與拋物線的標準方程及其性質、直線與圓錐曲線的相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式、兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形的面積公式等是解題的關鍵．