Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面底面，為正三角形，，，點，分別為線段、的中點，、分別為線段、上一點，且，.

（1）確定點的位置，使得平面；

（2）點為線段上一點，且，若平面將四棱錐分成體積相等的兩部分，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）運用線面平行的判定定理推證；（2）借助三棱錐的體積公式求解：

試題解析：

解：（1）為線段的靠近的三等分點.

取的中點，連接，在線段上取一點，使得，∵，∴，

則，

當為線段的靠近的三等分點時，即，.

∵，∴平面平面，∵平面，∴平面.

（2）∵三棱錐與四棱錐的高相同，

∴與四邊形的面積相等.

設，則，∵，

∴，

解得.

取中點，∵為正三角形，∴，∵平面平面，

∴平面，過作，交于，則平面，

∵，，∴，∴.