Question

中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；
(Ⅱ)若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標。

Answer 1

解：(Ⅰ)依題意知a=2，c=1，得b²=3，
∴橢圓C的方程是：；
(Ⅱ)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
知橢圓C的右頂點為M（2，0），
由，
且，
而，
∴，
∴，
整理得，
當m=-2k時，l：y=k（x-2）過定點(2，0)為右頂點，與已知矛盾；
當時，l：過定點，此時；
綜上知，直線l過定點。