Question

已知在三棱錐T-ABC中，TA，TB，TC兩兩垂直，T在地面ABC上的投影為D，給出下列命題：
①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；
②△ABC是銳角三角形；
③

1

TD2

=

1

TA2

+

1

TB2

+

1

TC2

；
④

S

2 △ABC

=

1

3

(

S

2 △TAB

+

S

2 △TAC

+

S

2 △TBC

)（注：S_△ABC表示△ABC的面積）
其中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

分析：對于①，TA，TB，TC兩兩垂直可得：直線TA與平面TBC垂直，從而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB；
對于問題②可以通過余弦定理解決．
對于③，在直角三角形ATE中，利用平面幾何中面積相等公式及射影定理即可證得；
對于④，如圖作TE⊥CB于E，連AE，則AE⊥CB．S_△BCA² =

1

4

BC2•AE² =

1

4

BC2•（AT²+TE²）再化簡即得S_△BCA²=S_△TBC²+S_△ACT²+S_△TAB²．

解答：解：對于①，TA，TB，TC兩兩垂直可得：TA⊥平面TBC，從而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB，故①正確；
②設TA=a；TB=b；TC=c，則AB²=a²+b²，同理BC²=c²+b²，Ac²=a²+c²，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA=

AB 2+AC 2-BC 2

2AB×AC

=

a 2+b 2+a 2+c 2-c 2-b 2

2 a 2+b 2 a 2+c 2

=

a 2

a 2+b 2 a 2+c 2

＞0，同理可證cosB＞0，cosC＞0，所以，）△ABC是銳角三角形．
③設TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=

bc

b2+c2

，
在三角形ABC中，有：AE=

a2b2+ b2c2+ c2a2

b2+c2

由于AE×TD=TA×TE
∴

a2b2+ b2c2+ c2a2

b2+c2

×TD=a×

bc

b2+c2

，
∴a²b²c²=（a²b²+b²c²+c²a²）TD ²
∴

1

TD2

=

1

TA2

+

1

TB2

+

1

TC2

；成立
故③對
④：S_△BCA²=S_△TBC²+S_△ACT²+S_△TAB²．證明如下：
如圖作TE⊥CB于E，連AE，則AE⊥CB．
S_△BCA² =

1

4

BC2•AE² =

1

4

BC2•（AT²+TE²）=

1

4

（TB²+TC²）（AT²+TE²）
=

1

4

（TB²TC² +TA²TC²+TA²TB² ）=S_△TBC²+S_△ACT²+S_△TAB²，
故不對；
故答案為：①②③．

點評：本題考查棱錐的結構特征以及解三角形的有關理論，在立體幾何中考查平面幾何問題，要注意在空間的某個平面內，平面幾何的有關定理、公式等結論仍然成立．本題還考查類比推理，屬于中檔題．