Question

已知圓C：x²+y²-6y-16=0與x軸相交于F₁、F₂，與y軸正半軸相交于B，以F₁、F₂為焦點，且經過點B的橢圓記為G．
（1）求橢圓G的方程；
（2）根據橢圓的對稱性，任意橢圓都有一個四邊都與橢圓相切的正方形，這個正方形稱為橢圓的外切正方形，試求橢圓G外切正方形四邊所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）先利用條件求出焦點坐標以及點的坐標，即可求出a，b，c以及求出橢圓方程．
（2）先把其中一邊設出來，利用相切對應判別式為0，求出直線方程，就可另三邊所在直線方程．

解答：解：（1）

x2+y2-6y-16=0 y=0

得F₁（-4，0）、F₂（4，0），
解

x2+y2-6y-16=0 x=0

得B（0，8），所以c=4，b=8，a=

a2+b2

=4

5

，
所以橢圓G的方程是

x2

80

+

y2

64

=1．
（2）根據橢圓的對稱性，設外切正方形一邊的方程為：y=x+b，
由

x2 80 + y2 64 =1 y=x+b

得9x²+10bx+5b²-320=0，由△=（10b）²-4×9×（5b²-320）=0（11分），解得b=±12，
正方形四邊所在直線為y=x±12，y=-x±12．

點評：本題只要考查圓與橢圓的綜合問題．其中涉及到了橢圓的外切正方形，在設正方形的邊時，要借助于圖象分析出直線特點．