Question

【題目】某學(xué)校有甲、乙兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班，為了了解班級(jí)成績(jī)，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩個(gè)班學(xué)生中分別抽取8名和6名測(cè)試他們的數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)（單位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名學(xué)生的測(cè)試分?jǐn)?shù)：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F(xiàn)（134，132），當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)、英語(yǔ)成績(jī)滿足m≥135，且n≥130時(shí)，該學(xué)生定為優(yōu)秀學(xué)生．
（1）已知甲班共有80名學(xué)生，用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙班優(yōu)秀生的數(shù)量；
（2）從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，求至少有兩名優(yōu)秀生的概率；
（3）從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，其中優(yōu)秀生數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)乙班共有學(xué)生x名，則 ，解得x=60．即乙班共有學(xué)生60名．由測(cè)試成績(jī)可知：A，B，C，E四名學(xué)生為優(yōu)秀生，∴ =40．

∴用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙班優(yōu)秀生的數(shù)量為40

（2）解：至少有兩名優(yōu)秀生的情況包括兩種：一種是只有兩名優(yōu)秀學(xué)生，另一種是3名都是優(yōu)秀生．

∴要求的概率P= =

（3）解：由已知可得：ξ的值為0，1，2，從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名是優(yōu)秀生的概率為 ．

則ξ～B ，P（ξ=k）= ，可得P（ξ=0）= ，P（ξ=1）= ，P（ξ=0）= ．

ξ	0	1	2
P

∴Eξ= =

【解析】（1）設(shè)乙班共有學(xué)生x名，則 ，解得x=60．即乙班共有學(xué)生60名．由測(cè)試成績(jī)可知：A，B，C，E四名學(xué)生為優(yōu)秀生，即可得出．（2）至少有兩名優(yōu)秀生的情況包括兩種：一種是只有兩名優(yōu)秀學(xué)生，另一種是3名都是優(yōu)秀生．利用互斥事件與相互獨(dú)立事件、古典概率計(jì)算公式即可得出．（3）由已知可得：ξ的值為0，1，2，從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名是優(yōu)秀生的概率為 ．

則ξ～B ，P（ξ=k）= ，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．