Question

橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點是一個含60°角的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  1

  2

  或

  3

  2

• B．

  1

  2

• C．

  3

  2

• D．

  5 -1

  2

Answer 1

分析：由題意有可得tan30°=

3

3

=

b

c

，或tan30°=

3

3

=

c

b

，
當

3

3

=

b

c

時，由e=

c

a

=

3 b

a

=

3 a2-c2

a

，求出e的值，
當

3

3

=

c

b

時，由e=

c

a

=

3

3

a2-c2

a

，求得e的值．

解答：解：由于橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點，是一個含60°角的菱形的四個頂點，
則tan30°=

3

3

=

b

c

，或tan30°=

3

3

=

c

b

，
當

3

3

=

b

c

時，由e=

c

a

=

3 b

a

=

3 a2-c2

a

，
∴e²=3（1-e²），解得e=

3

2

．
當

3

3

=

c

b

時，由e=

c

a

=

3

3

a2-c2

a

，
∴e²=

1

3

（1-e²），解得e=

1

2

．
綜上，e=

1

2

，或e=

3

2

．
故選：A．

點評：本題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質的應用，根據題意得到

3

3

=

b

c

，或

3

3

=

c

b

，是解題的關鍵．