Question

（2013•婺城區模擬）若數列{a_n}的前n項和為S_n，則下列命題正確的是（　�。�

A．若數列{ a_n}是遞增數列，則數列{S_n}也是遞增數列：

B．數列{S_n}是遞增數列的充要條件是數列{a_n}的各項均為正數

C．若{a_n}是等差數列，則對于k≥2且k∈N，S₁?S₂…S_k=0的充要條件是a₁?a₂?a_k=0

D．若{a_n}是等比數列，則對于k≥2且k∈N，S₁?S₂…S_k=0的充要條件是a_k+a_k+1=0．

Answer 1

分析：利用等差數列、等比數列的定義和性質，數列的前n項和的意義，通過舉反例可得A、B、C不正確．經過檢驗，只有D正確，從而得出結論．

解答：解：A：數列{a_n}的前n項和為S_n，故 S_n =a₁+a₂+a₃+…+a_n，
若數列{a_n}是遞增數列，則數列{S_n}不一定是遞增數列，如a_n=n-60，當a_n＜0 時，數列{S_n}是遞減數列，故A不正確．
B：由數列{S_n}是遞增數列，不能推出數列{a_n}的各項均為正數，
如數列：0，1，2，3，…，滿足{S_n}是遞增數列，但不滿足數列{a_n}的各項均為正數，故B不正確．
C：若{a_n}是等差數列（公差d≠0），則由S₁•S₂…S_k=0不能推出a₁•a₂…a_k=0，
例如數列：-3，-1，1，3，滿足S₄=0，但 a₁•a₂•a₃•a₄≠0，故C不正確．
D：一方面：若{a_n}是等比數列，則由S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），
從而當k=2時，有S₁•S₂=0⇒S₂=0⇒a₁+a₂=0，
∴a₂=-a₁，從而數列的{a_n}公比為-1，故有a_k+a_k+1=a_k-a_k=0．
另一方面，由a_k+a_k+1=0可得a_k=-a_k+1，∴a₂=-a₁，
可得S₂=0，∴S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），故D正確．
故選D．

點評：本題主要考查等差數列、等比數列的定義和性質，數列的前n項和的意義，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．