Question

【題目】設函數f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其中0＜ω＜3，已知f（ ）=0．（12分）
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移 個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）在[﹣ ， ]上的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ）
=sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx）
= sinωx﹣ cosωx
= sin（ωx﹣ ），
又f（ ）= sin（ ω﹣ ）=0，
∴ ω﹣ =kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣ ），
將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y= sin（x﹣ ）的圖象；
再將得到的圖象向左平移 個單位，得到y= sin（x+ ﹣ ）的圖象，
∴函數y=g（x）= sin（x﹣ ）；
當x∈[﹣ ， ]時，x﹣ ∈[﹣ ， ]，
∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，
∴當x=﹣ 時，g（x）取得最小值是﹣ × =﹣ ．
【解析】（Ⅰ）利用三角恒等變換化函數f（x）為正弦型函數，根據f（ ）=0求出ω的值；
（Ⅱ）寫出f（x）解析式，利用平移法則寫出g（x）的解析式，求出x∈[﹣ ， ]時g（x）的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關知識，掌握兩角和與差的正弦公式：，以及對函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的理解，了解圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．