Question

（2013•房山區一模）已知拋物線C：y²=2px的焦點坐標為F（1，0），過F的直線l交拋物線C于A，B兩點，直線AO，BO分別與直線m：x=-2相交于M，N兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．

Answer 1

分析：（I）根據焦點的坐標，求得P即可；
（II）根據直線L與x軸是否垂直，分兩種情況求解△ABO與△MNO的面積之比，驗證即可．

解答：解：（Ⅰ）由焦點坐標為（1，0）可知

p

2

=1，p=2
∴拋物線C的方程為y²=4x
（Ⅱ）當直線l垂直于x軸時，△ABO與△MNO相似，
∴

S△ABO

S△MNO

=(

|OF|

2

)2=

1

4

．
當直線l與x軸不垂直時，設直線AB方程為y=k（x-1），
設M（-2，y_M），N（-2，y_N），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解  

y=k(x-1) y2=4x

整理得  k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∴x₁•x₂=1．∴

S△ABO

S△MNO

=

1 2 •AO•BO•sin∠AOB

1 2 •MO•NO•sin∠MON

=

AO

MO

•

BO

NO

=

x1

2

•

x2

2

=

1

4

．
綜上    

S△ABO

S△MNO

=

1

4

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系及拋物線的標準方程．