Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱AC、AD的中點．
（1）求證：DC⊥平面ABC；
（2）求BF與平面ABC所成角的正弦；
（3）求二面角B-EF-A的余弦．

Answer 1

分析：（1）根據題設中的條件，用線面垂直的判定定理證明DC⊥平面ABC；
（2）點E、F分別為棱AC、AD的中點可得出EF∥CD，由（1）知，EF⊥平面ABC，由此證得∠FBE即為所求線面角，正弦值易求；解法2：如圖，以B為坐標原點，BD所在的直線為x軸，BA所在直線為Z軸建立如圖的空間直角坐標系，給出有關各點的坐標，由題設條件求出線段BF的方向向量，面ABC的法向量，由公式求出線面角的正弦；
（3）由題意可證得∠AEB為二面角B-EF-A的平面角，在直角三角形中求出∠AEB，

解答：解：（1）證明：在圖甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°
即AB⊥BD（2分）
在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．（4分）
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B
∴DC⊥平面ABC．（5分）
（2）解法1：∵E、F分別為AC、AD的中點
∴EF∥CD，又由（1）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，垂足為點E
∴∠FBE是BF與平面ABC所成的角（7分）
在圖甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°
設CD=a則BD=2a，BC=

3

a，BF=

2

2

BD=

2

a，EF=

1

2

CD=

1

2

a   （9分）
∴在Rt△FEB中，sin∠FBE=

EF

FB

=

1 2 a

2 a

=

2

4

即BF與平面ABC所成角的正弦值為

2

4

．（10分）
解法2：如圖，以B為坐標原點，BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如下圖示，
設CD=a，則BD=AB=2a，BC=

3

a，AD=2

2

a（6分）
可得B（0，0，0），D（2a，0，0），A（0，0，2a），C(

3

2

a，

3

2

a，0)，F（a，0，a），
∴

CD

=(

1

2

a，-

3

2

a，0)，

BF

=(a，0，a)（8分）
設BF與平面ABC所成的角為θ
由（1）知DC⊥平面ABC
∴cos(

π

2

-θ)=

CD • BF

| CD |•| BF|

=

1 2 a2

a• 2 a

=

2

4

∴sinθ=

2

4

（10分）
（3）由（2）知FE⊥平面ABC，
又∵BE?平面ABC，AE?平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB為二面角B-EF-A的平面角（12分）
在△AEB中，AE=BE=

1

2

AC=

1

2

AB2+BC2

=

7

2

a
∴cos∠AEB=

AE2+BE2-AB2

2AE•BE

=-

1

7

即所求二面角B-EF-A的余弦為-

1

7

．（14分）（其他解法請參照給分）

點評：本題考查二面角的平面角的求法，解答本題，關鍵是掌握求二面角的方法，即作出平面角，證明平面角，再求平面角，尤其是中間一步證明平面角易漏掉，做題時要注意，本題涉及到了線面角的求法，線面垂直的證明，涉及到的知識點較多，對推理論證能力要求較高．