Question

設m，n∈N^*，f(x)＝(1＋2x)^m＋(1＋x)ⁿ.
(1)當m＝n＝2 011時，記f(x)＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a_{2 011}x^{2 011}，求a₀－a₁＋a₂－…－a_{2 011}；
(2)若f(x)展開式中x的系數是20，則當m，n變化時，試求x²系數的最小值．

Answer 1

（1）-1（2）85

(1)令x＝－1，得a₀－a₁＋a₂－…－a_{2 011}＝(1－2)^{2 011}＋(1－1)^{2 011}＝－1.
(2)因為2＋＝2m＋n＝20，所以n＝20－2m，則x²的系數為2²＋＝4×＝2m²－2m＋(20－2m)(19－2m)＝4m²－41m＋190.
所以當m＝5，n＝10時，f(x)展開式中x²的系數最小，最小值為85.