Question

已知函數f（x）=x²+1，x∈[0，1]的反函數為f^-1（x），則函數y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的值域是（　　）

• A、[0，1]
• B、[1，1+

  3

  ]
• C、[1，2]
• D、{1}

Answer 1

分析：本題考查反函數的概念、反函數的求法、函數式的化簡、函數值域的求法等相關知識．
根據y=x²+1及x∈[0，1]可得f^-1（x）的解析式，由此函數y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的解析式可求，根據函數y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）成立的條件可以確定x的取值范圍，進而求得值域．

解答：解：由y=x²+1解得：x=±

y-1

∵x∈[0，1]∴x=

y-1

且y∈[1，2]
∴原函數的反函數為f^-1（x）=

x-1

 x∈ [1，2]
由y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）
=(

x-1

) 2+

2x-1

=x+

2x-1

-1
∵函數y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的定義域為

1≤x≤2 1≤2x≤2

解得：x∈{1}，此時y∈{1}，
即函數y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的值域是{1}．
故選D

點評：本題雖小，但綜合性強，展示了函數概念的深層次的問題，函數的值域是由函數的解析式和函數的定義域所確定，在本題體現的尤其突出．易錯點表現在求函數y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的定義域，它是由

1≤x≤2 1≤2x≤2

所確定．