Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）求函數f（x）的解析式，并說明函數的單調性；
（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）是R上的奇函數，

所以f（0）=0，解得b=﹣1，

從而有f（x）= ，

經檢驗，符合題意．

因為f（x）=1﹣ ，

所以由y=2x的單調性可推知f（x）在R上為增函數

（2）解：因為f（x）在R上是奇函數，

從而不等式f（2x+1）+f（x）＜0可化為f（2x+1）＜﹣f（x），

即f（2x+1）＜f（﹣x），

又因f（x）是R上的增函數，

由上式推得1+2x＜﹣x，解得x ．

所以不等式的解集為（﹣ ）

【解析】（1）利用（0）=0，解得b，可求函數f（x）的解析式，f（x）=1﹣ ，由y=2x的單調性可推知函數的單調性；（2）不等式f（2x+1）+f（x）＜0，轉化為f（2x+1）＜f（﹣x），利用單調性，可得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．