Question

把橢圓C的短軸和焦點連線段中較長者、較短者分別作為橢圓C′的長軸、短軸，使橢圓C變換成橢圓C′，稱之為橢圓的一次“壓縮”．按上述定義把橢圓C_i（i=0，1，2，…）“壓縮”成橢圓C_i+1，得到一系列橢圓C₁，C₂，C₃，…，當短軸長與截距相等時終止“壓縮”．經研究發現，某個橢圓C經過n（n≥3）次“壓縮”后能終止，則橢圓C_n-2的離心率可能是：①，②，③，④中的    （填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】分析：分類討論，確定壓縮數為n-2時，半長軸、半短軸、半焦距，利用離心率公式，即可求得結論．
解答：解：依題意，
若原橢圓，短軸＞焦距，則壓縮數為n時，半長軸為a，半短軸為c，半焦距為c
所以壓縮數為n-1時，半長軸為，半短軸為a，半焦距為c；
壓縮數為n-2時，半長軸為，半短軸為，半焦距為a
∵壓縮數為n時，a²=c²+c²=2c²
∴C_n-2的離心率==
同理，若原橢圓，短軸＜焦距，則壓縮數為n時，半長軸為a，半短軸為c，半焦距為c
所以壓縮數為n-1時，半長軸為，半短軸為c，半焦距為a；
壓縮數為n-2時，半長軸為，半短軸為c，半焦距為，
∵壓縮數為n時，a²=c²+c²=2c²
∴C_n-2的離心率==
故答案為：①②
點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．