Question

已知f（x）=ax³-2ax²+b，（a≠0）．
（Ⅰ）求出f（x）的極值點，并指出其是極大值點還是極小值點；
（Ⅱ）若f（x）在區間[-2，1]上最大值是5，最小值是-11，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）分類討論參數a，滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值點，從而求出極值；
（2）先求出f（x）在區間[-2，1]的極值，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值，建立兩個等量關系，求出參數a，b即可．

解答：解（Ⅰ）∵f（x）=ax³-2ax²+b，
∴f′（x）=3ax²-4ax=ax（3x-4）
令f′（x）=0，得x1=0，x2=

4

3

ia＜0時

函數的極值點是0，

4

3

，0是極小值點，

4

3

是極大值點（5分）
ii、a＞0時
同理可以驗證0是極大值點，

4

3

是極小值點（6分）
（Ⅱ）f（x）在區間[-2，1]上最大值是5，
最小值是-11，f′（x）=0，x1=0，x2=

4

3

∉[-2，1]
若a＞0，
（8分）

因此f（0）必為最大值，∴f（0）=5，得b=5，
∵f（-2）=-16a+5，f（1）=-a+5，∴f（1）＞f（-2）
∴f（-2）=-16a+5=-11，∴a=1
∴f（x）=x³-2x²+5；（11分）
若a＜0，同理可得f（0）為最小值，∴f（0）=-11，得b=-11，
∵f（-2）=-16a+5，f（1）=-a+5，∴f（-2）＞f（1）
∴f（-2）=f（x）_max=5，∴a=-1∴f（x）=-x³+2x²-11．（14分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及待定系數法求函數解析式和利用導數求閉區間上函數的最值，屬于中檔題．