Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，，∠ACB=∠PAC=∠PBC=90°，D為AB的中點．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求點P到平面ABC的距離；
（Ⅲ）已知點E在線段PB上，且BE=1，求EC與平面ABC所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據D為AB的中點，且AC=BC得到AB⊥CD；同理有AB⊥AD，可證AB⊥平面PDC，即可得到平面PDC⊥平面ABC；
（Ⅱ）延長CD，過點P作PF⊥CD于F，則PF⊥平面ABC，得到PF的長度就為點P到平面ABC的距離；然后在Rt△PFD中求出PF的長度即可；
（Ⅲ）先根據PF⊥平面ABC，得到平面PFB⊥平面ABC以及EG⊥平面ABC；得到∠ECG為EC與平面ABC所成的角；然后通過求各邊邊長即可求出結論．
解答：解：（Ⅰ）證明：在△ABC中，∵D為AB的中點，且AC=BC，∴AB⊥CD，
同理，在△PAB中有AB⊥AD，而AD∩CD=D，∴AB⊥平面PDC，
∴平面PDC⊥平面ABC．（5分）
（Ⅱ）延長CD，過點P作PF⊥CD于F，則PF⊥平面ABC．
即PF的長度就為點P到平面ABC的距離．
由已知，可得在△PDC中，，
則，∴，∴Rt△PFD中，PF=1．（9分）
（Ⅲ）過E作EG⊥BF于G，連接CG，
由（2）知PF⊥平面ABC，∴平面PFB⊥平面ABC，
∴EG⊥平面ABC，
即∠ECG為EC與平面ABC所成的角
Rt△PFB中，BF=1，，∴，
又∵BE=1，∴Rt△EGB中，，
又Rt△EBC中，，∴Rt△EGC中，
即EC與平面ABC所成的角為．（14分）
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角的度量，直二面角的運用，同時考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．