Question

設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數列的集合：①對任意，恒成立；②對任意，存在與n無關的常數M，使恒成立．
（1）若是等差數列，是其前n項和，且試探究數列與集合W之間的關系；
（2）設數列的通項公式為，且，求M的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先根據條件，利用等差數列的性質得到的前n項和，然后檢驗其是否滿足①②條件即可；（2）由數列的通項公式經作差可知，當時，，此時，數列單調遞減，當時，，即，從而得到數列中的最大項為，由恒成立，從而知的取值范圍是.
試題解析：(1)設等差數列的公差是，則
 解得   1分
∴   (3分)
∴ 
∴，適合條件①
又，
∴當或時，取得最大值20，即，適合條件②．
綜上，   （6分）
（2）∵，
∴當時，，此時，數列單調遞減；   9分
當時，，即，   10分
因此，數列中的最大項是，   11分
∴，即M的取值范圍是．   12分