Question

(08年重慶卷文)（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問6分.（Ⅱ）小問6分）

      設各項均為正數的數列{a_n}滿足.

     （Ⅰ）若求a₃,a₄,并猜想a₂₀₀₈的值（不需證明）;

（Ⅱ）若對n≥2恒成立，求a₂的值.

Answer 1

解：（I）因a₁=2,a₂=2^-2,

由此有

從而猜想a_n的通項為

,

所以a_2xn=.

(Ⅱ)令x_n=log₂a_n.則a₂=2^x2,故只需求x₂的值。

   設S_n表示x₂的前n項和，則a₁a₂…a_n=,由2≤a₁a₂…a_n＜4得

   ≤S_n＝x₁+x₂+…+x_n＜2(n≥2).

因上式對n=2成立，可得≤x₁+x₂，又由a₁=2,得x₁＝1,故x₂≥.

由于a₁=2，(n∈N*),得(n∈N*),即

，

因此數列｛x_n+1+2x_n｝是首項為+2,公比為的等比數列，故

x_n+1+2x_n=(x₂+2) (n∈N*).

將上式對n求和得

S_n+1－x₁+2S_n=(x₂+2)(1++…+)=(x₂+2)(2－)（n≥2）.

因S_n＜2，S_n+1＜2（n≥2）且x₁=1,故

(x₂+2)(2－)＜5（n≥2）.

因此.

下證，若淆，假設＞，則由上式知，不等式

2^n－1＜

對n≥2恒成立，但這是不可能的，因此x₂≤.

又x₂≥，故=，所以a₂==.