Question

.已知函數
（Ⅰ）當時，求的值域
（Ⅱ）設，若在恒成立，求實數a的取值范圍
（III）設，若在上的所有極值點按從小到大排成一列，
求證：

Answer 1

（Ⅰ）函數的值域為 ；（Ⅱ）的取值范圍為 .（Ⅲ）.

本試題主要是考查了導數在研究函數中的 運用。利用導數求解函數的單調區間，確定值域和運用不等式恒成立問題，得到參數的取值范圍以及不等式的證明。
（1）因為上單調遞增.
，從而得到值域。
（2）因為設，若在恒成立，可以構造函數，記，則.
利用導數的思想確定最值得到參數的范圍。
（3）根據
令，則.
那么可知借助于正切函數的單調區間得到結論。
解：（Ⅰ） 上單調遞增.

所以函數的值域為                  ……………………. 4分
（Ⅱ），記，則.
當時，,所以在上單調遞增.
又，故.從而在上單調遞增.
所以，即在上恒成立………….7分
當時，.
所以上單調遞減，從而，
故在上單調遞減，這與已知矛盾. …………….9分
綜上，故的取值范圍為 .
（Ⅲ）
令，則.

依題意可知，
從而.  …………………….12分
又,所以.    …………….14分