Question

設函數f(x)＝(x＞0)，數列{an}滿足a1＝1，an＝f (n∈N*，且n≥2)．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)設Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋(－1)n－1·anan＋1，若Tn≥tn2對n∈N*恒成立，求實數t的取值范圍．

 

Answer 1

（1）an＝（2）

【解析】(1)因為an＝f＝＝an－1＋ (n∈N*，且n≥2)，

所以an－an－1＝.因為a1＝1，

所以數列{an}是以1為首項，公差為的等差數列．

所以an＝.

(2)①當n＝2m，m∈N*時，

Tn＝T2m＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋(－1)2m－1a2ma2m＋1

＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2m(a2m－1－a2m＋1)

＝－ (a2＋a4＋…＋a2m)＝－××m

＝－(8m2＋12m)＝－(2n2＋6n)．

②當n＝2m－1，m∈N*時，

Tn＝T2m－1＝T2m－(－1)2m－1a2ma2m＋1＝－(8m2＋12m)＋(16m2＋16m＋3)

＝(8m2＋4m＋3)＝(2n2＋6n＋7)．

所以Tn＝要使Tn≥tn2對n∈N*恒成立，只要使－ (2n2＋6n)≥tn2，(n為正偶數)恒成立．

只要使－≥t，對n∈N*恒成立，故實數t的取值范圍為