Question

已知對于任意的總有，且時，
① 求證: 在上是減函數
② 求在上的最大值和最小值。

Answer 1

①略
②f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2.

證明：(1)設x₁>x₂，則f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁－x₂＋x₂)－f(x₂)＝f(x₁－x₂)＋f(x₂)－f(x₂)＝f(x₁－x₂)
又∵x>0時，f(x)<0，而x₁－x₂>0，∴f(x₁－x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)，∴f(x)在R上是減函數．
(2)解：∵f(x)在R上是減函數，∴f(x)在[－3,3]上也是減函數．∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分別為f(－3)與f(3)，而f(3)＝3f(1)＝－2 ，由題意知f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，∴f(x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數．f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2.