Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1, 0)、B(1, 0), 動點C滿足條件：△ABC的周長為．記動點C的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）經過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W有兩個不同的交點P和Q，求k的取值范圍；
（Ⅲ）已知點M（），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數k，使得向量 與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）且；（3）不存在常數k，使得向量與共線.

(Ⅰ) 設C（x, y）, ∵, , ∴,∴由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為的橢圓除去與x軸的兩個交點．
∴． ∴．∴W:   ．……2分
(Ⅱ) 設直線l的方程為，代入橢圓方程，得．
整理，得．        ①…………………………5分
因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于
，解得或．
∴滿足條件的k的取值范圍為且……7分
（Ⅲ）設P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂）,
由①得．②  又    ③
因為，，所以．………………………11分
所以與共線等價于．將②③代入上式
解得．所以不存在常數k，使得向量與共線．…12分∴由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為的橢圓除去與x軸的兩個交點．
∴． ∴．∴W:   ．……2分
(Ⅱ) 設直線l的方程為，代入橢圓方程，得．
整理，得．        ①…………………………5分
因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于
，解得或．
∴滿足條件的k的取值范圍為且……7分
（Ⅲ）設P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂）,
由①得．②  又    ③
因為，，所以．………………………11分
所以與共線等價于．將②③代入上式
解得．所以不存在常數k，使得向量與共線．…12分