Question

【題目】已知橢圓C：過點，離心率為.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C交于不同兩點M，N，記△F1MN的內切圓的面積為S，求當S取最大值時直線l的方程，并求出最大值．

Answer 1

【答案】(1)；（2），.

【解析】

（1）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，即可得到橢圓方程；

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），△F1MN的內切圓半徑為r，運用等積法和韋達定理，弦長公式，結合基本不等式即可求得最大值．

（Ⅰ）由題意得+=1，=，a2=b2+c2，

解得a=2，b=，c=1，

橢圓C的標準方程為+=1；

（Ⅱ）設M（x1，y1），N（x2，y2），△F1MN的內切圓半徑為r，

則=（|MN|+|MF1|+|NF1|）r=×8r=4r，

所以要使S取最大值，只需最大，

則=|F1F2||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，

設直線l的方程為x=ty+1，

將x=ty+1代入+=1；

可得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）

∵△＞0恒成立，方程（*）恒有解，

y1+y2=，y1y2=，

==，

記m=（m≥1），

==在[1，+∞）上遞減，

當m=1即t=0時，（）max=3，

此時l：x=1，Smax=π．