Question

某同學在一次研究性學習中發現，以下四個不等式都是正確的：
①（1²+4²）（9²+5²）≥（1×9+4×5）²；
②[（-6）²）+8²]×（2²+12²）≥[（-6）×2+8×12]²
③[（6.5）²+（8.2）²]×[（2.5）²+（12.5）²]≥[（6.5）×（2.5）+（8.2）×（12.5）]²
④（20²+10²）（102²+7²）≥（20×102+10×7）²．
請你觀察這四個不等式：
（Ⅰ）猜想出一個一般性的結論（用字母表示）；
（Ⅱ）證明你的結論．

Answer 1

分析：尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經顯然具備為止．

解答：解：（Ⅰ）觀察所給的4個等式，猜想出一個一般性的結論（用字母表示）：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，（ a，b，c，d∈R ）
（Ⅱ）證明：要證 （a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，
只要證 a²•c²+a²d²+b²c²+b²d²≥a²c²+b²d²+2abcd，
只要證 a²d²-2abcd+b²c²≥0，
只要證 （ad-bc）²≥0．
而 （ad-bc）²≥0顯然成立，故要證的不等式成立．

點評：本題主要考查用分析法證明不等式，關鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經顯然具備為止，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．