Question

（本小題滿分14分） 已知橢圓的中心在原點，一個焦點，且長軸長與短軸長的比是．若橢圓在第一象限的一點的橫坐標為，過點作傾斜角互補的兩條不同的直線，分別交橢圓于另外兩點，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：直線的斜率為定值；

（Ⅲ）求面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）設橢圓的方程為．

由題意  ………………………………………………2分

解得 ，．

所以橢圓的方程為．……………………………………………4分

（Ⅱ）由題意知，兩直線，的斜率必存在，設的斜率為，

則的直線方程為.

由得

.………………6分

設，，則

，

同理可得，

則，.

所以直線的斜率為定值. ……………………………………8分

（Ⅲ）設的直線方程為.

由得.

由，得.……………………………………10分

此時，.

到的距離為，

    

則

.

因為使判別式大于零，

所以當且僅當時取等號，

所以面積的最大值為．………………………………………………………13分

 

【解析】略