Question

【題目】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90，AD=2BC，PA⊥平面ABCD．

(1)設(shè)E為線段PA的中點，求證：BE∥平面PCD；

(2)若PA=AD=DC，求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）設(shè)線段AD的中點為F，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)以及平行四邊形性質(zhì)得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得線面平行，最后根據(jù)面面平行判定定理得面面平行，即得結(jié)論，（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，根據(jù)方程組解得各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.

(1)設(shè)線段AD的中點為F，連接EF，BF．

在△PAD中，因為EF為△PAD的中位線，所以EF∥PD．

又EF平面PCD，PD平面PCD，所以EF∥平面PCD．

在底面直角梯形ABCD中，FD∥BC，且FD=BC，

故四邊形DFBC為平行四邊形，FB∥CD．

又FB平面PCD，CD平面PCD，所以FB∥平面PCD．

又EF平面EFB，FB平面EFB，且EF∩FB=F，所以平面EFB∥平面PCD．

又BE平面EFB，所以BE∥平面PCD．

(2)以A為坐標原點， 的方向為y軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系．

設(shè)PA=2，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，B(2,1,0)，

=(0,0,2)，=(2,1,0)，=(0,2, 2)， =(2,0,0)．

設(shè)n=(x,y,z)是平面PAB的法向量，則

，即 ，

令x=1，得y=2，z=0，則n=(1, 2,0)是平面PAB的一個法向量，

同理，m=(0, 1, 1)是平面PCD的一個法向量．

所以cos<m,n>= ，

所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為．