Question

已知a，b是實數，函數f(x)=x³+ax，g(x)=x²+bx，f′(x)和g′(x)是f(x)，g(x)的導函數，若f′(x)g′(x)≥0在區間I上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區間I上單調性一致，
（1）設a＞0，若函數f(x)和g(x)在區間[-1，+∞)上單調性一致，求實數b的取值范圍；
（2）設a＜0且a≠b，若函數f(x)和g(x)在以a，b為端點的開區間上單調性一致，求|a-b|的最大值。

Answer 1

解：（1）因為函數f(x)和g(x)在區間[-1，+∞)上單調性一致，
所以，
即，
∵a＞0，
∴，
即∵a＞0，
∴，
∴b≥2；
（2）當b＜a時，因為函數f(x)和g(x)在區間（b，a）上單調性一致，
所以，，
即，
，
∴，
∴，
∴，
設z=a-b，考慮點(b，a)的可行域，函數的斜率為1的切線的切點設為，
則，
∴；
當a＜b＜0時，因為函數f(x)和g(x)在區間（a，b）上單調性一致，
所以，
即，
∵b＜0，∴，
∴，∴，
∴，∴；
當a＜0＜b時，因為函數f(x)和g(x)在區間（a，b）上單調性一致，
所以，
即，
∵b＞0，而x=0時，不符合題意；
當a＜0=b時，由題意：，
∴，∴，
∴，∴；
綜上可知，。