Question

若f(x)=loga(ax2-ax+

1

2

)在[1，

3

2

]上恒正，則實數a的取值范圍是

(0，

2

3

)

．

Answer 1

分析：對底數進行分類討論，將對數值恒正，轉化為真數與1的比較，由此可求實數a的取值范圍．

解答：解：若a＞1，則問題等價于ax2-ax-

1

2

＞0在[1，

3

2

]上恒成立，
因為對于的二次函數y=ax2-ax-

1

2

在[1，

3

2

]上單調遞增，所以1-1-

1

2

＞0，不成立；
若0＜a＜1，則問題等價于ax2-ax-

1

2

＜0，且ax2-ax+

1

2

＞0在[1，

3

2

]上恒成立，
因為對于的二次函數y=ax2-ax-

1

2

在[1，

3

2

]上單調遞增，
所以

9

4

a-

3

2

a-

1

2

＜0，解得a＜

2

3

；
函數y=ax2-ax+

1

2

在[1，

3

2

]上單調遞增，所以1-1+

1

2

＞0成立，
綜上，0＜a＜

2

3

故實數a的取值范圍是(0，

2

3

)
故答案為：(0，

2

3

)

點評：本題考查對數函數的性質，考查分類討論的數學思想，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題．