Question

設函數y=f （x）是定義域為R的奇函數，且滿足f （x-2）=-f （x）對一切x∈R恒成立，當-1≤x≤1時，f （x）=x³，則下列四個命題：
①f（x）是以4為周期的周期函數．
②f（x）在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）³．
③f（x）在處的切線方程為3x+4y-5=0．
④f（x）的圖象的對稱軸中，有x=±1，其中正確的命題是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：利用函數的奇偶性和f （x-2）=-f （x），可以得出函數的周期為4，然后結合-1≤x≤1時，f （x）=x³，得到函數在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）³，利用導數的幾何意義求得f （x）在處得切線的斜率，即可求得其切線方程．結合函數的奇偶性，周期性就可得到其圖象的對稱軸．
解答：解：∵f （x-2）=-f （x）對一切x∈R恒成立，
∴f （x-4）=-f （x-2）=-[-f（x）]=f（x）∴f（x）是以4為周期的周期函數．①對
設1≤x≤3∴-1≤2-x≤1  又∵當-1≤x≤1時，f （x）=x³，
∴f（2-x）=（2-x）³=-f（x）∴f （x）=（2-x）³  ②對
∴f'（x）=-3（2-x）²∴f'（）=-=k
又∵=（2-）³=∴f （x）在處的切線方程為：y-=（x-）即：3x+4y-5=0．③對
由f （x-2）=-f （x）=f（-x）知函數圖象的一條對稱軸為x=-1，又∵f（x）為奇函數，其圖象關于y軸對稱 
∴f （x）的圖象的對稱軸中，有x=1，故④對．
故選D．
點評：本題綜合考查了考查了函數的奇偶性，周期性和圖象的對稱性，以及利用函數的性質求函數在給定區間上的解析式的方法，同時考查了利用導數的幾何意義求其切線方程，是個中檔題．